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ARCHIMEDE

Nella sua “Vita di Marcello” Plutarco ci fornisce alcune notizie su Archimede riferite specialmente alle macchine costruite per respingere gli assalti dei romani volti alla conquista di Siracusa. A questo proposito Polibio (VIII,7) parla di corde che, tirate, permettevano di mutare la direzione delle sue macchine.

Plutarco racconta anche l’episodio intercorso tra lui e il re Gerone in seguito all’affermazione che il grande matematico aveva fatto sulla possibilità di poter spostare facilmente pesi anche assai pesanti.

Gerone l’aveva preso in parola e aveva sfidato Archimede a dimostrare quanto aveva detto. Ma lasciamo la parola a Plutarco:

Ma Archimede scrisse un giorno al re Ierone, di cui era parente ed amico, che si poteva con una certa forza sollevare un certo peso. Si dice che, preso da entusiasmo per il vigore della propria dimostrazione, Archimede aggiunse che se fosse esistita un’altra terra, egli avrebbe mosso questa trasferendosi in quella.[1] Ierone trasecolò per la scoperta fatta dall’amico e lo pregò di ridurre in pratica la sua proposizione, mostrandogli qualche grosso oggetto mosso da una piccola forza. Archimede prese un mercantile a tre alberi della flotta reale, che fu tirato in secco con grande fatica e l’impiego di molte persone, v’imbarcò molti uomini e il suo carico abituale, poi si sedette lontano e senza nessuno sforzo, muovendo tranquillamente con una sola mano un sistema di carrucole, lo fece avvicinare a sé dolcemente senza sussulti, come se volasse sulle onde del mare.

Parlando di carrucole è naturale pensare ad un complesso tale che ogni carrucola aggiunta dimezzi il peso da sollevare o da spostare forse combinate con il movimento di alcune leve anch’esse tali da diminuire il peso da spostare. Ebbene, questo episodio e altri inerenti ai proiettili che Archimede era in grado di scagliare  a varie distanze, ma specialmente le opere scritte a noi pervenute, hanno fatto giudicare Archimede, uno dei più grandi matematici di ogni tempo, il primo ingegnere dell’antichità.

ARISTOTELE

Ci possiamo domandare se Archimede abbia avuto qualche precursore nella sua attività ingegneristica oppure, data la sua grande capacità, sia stata tutta farina del suo sacco.

La prima ipotesi è la più attendibile tenuto conto delle grandi costruzioni megalitiche che hanno preceduto Archimede e così i templi sumerici e babilonesi e le grandi costruzioni egizie. Ma una indicazione precisa e, a mio parere determinante, la possiamo trarre da un passo di Aristotele del De Mundo (altrimenti detto Del Cosmo, passo  398 b,12-16):

Ma ciò che è più caratteristico della divinità è proprio questo: la capacità di realizzare forme di ogni genere con facilità e con semplice movimento, come per esempio fanno gli ingegneri (megalòteknoi – grandi tecnici), i quali con un solo tiro di un’unica fune di un congegno[2] (dià miâj ðrgánou scasthríaj,, più propriamente “con un solo meccanismo di strumento”), compiono varie e molteplici operazioni.

Del resto anche Omero nei versi 410-412 del XV canto parla di un "tecnico", istruito da Atena, in grado di alzare (un albero di) una nave tirando una opportuna cordicella (stàtme, vocabolo che vedremo usato anche da Aristotele nel paragrafo seguente dove si riferirà ancora al meccanismo della fune.

 

GLI ARPEDONAPTI EGIZIANI

Ma chi sono questi “grandi tecnici”? Ricordiamo che sia Platone (Fedro 274 c-e) che Aristotele (Metasfisica 981 b, 23-25) attribuiscono agli egiziani le origini della matematica. Per essere liberi da un’esclusiva lotta per la sopravvivenza, scrive quest’ultimo <le arti matematiche si costituiscono per la prima volta in Egitto: infatti là era concessa questa libertà alla casta dei sacerdoti>. Erodoto ci dà altri ragguagli sui matematici egiziani (Storie, II, 109) indicando che essi non solo erano in grado di assegnare lotti uguali ai coltivatori, ma anche di misurare di nuovo l’estensione di un campo dopo l’inondazione del Nilo in modo che le tasse venissero pagate in proporzione ed aggiunge: <io ritengo che in seguito a ciò abbia avuto origine la geometria e sia poi passata in Grecia>. Erodoto non dà però alcuna indicazione su come avvenissero tali misure.

Ebbene, in un frammento attribuito a Democrito che vedremo in seguito, i “misuratori” egiziani, agrimensori possiamo dire, venivano chiamati “arpedonapti” (da arpedòne, corda e àpto, legare, attaccare) come se essi tirassero le corde per poter misurare e, forse, secondo una ipotesi, determinare angoli retti. La possibilità viene indicata dalla costruzione di un opportuno triangolo rettangolo, ad esempio quello con lati di misure tre, quattro e cinque.

Dobbiamo osservare che Aristotele in un brano del Protreptico (fram. 47) tra gli strumenti usati dagli artigiani, ricorda anche la “cordicella” (stáqmh) distinguendola così dalla "squadra" (kanÎn) e dal “compasso” (tòrnoj): <Come infatti nelle altre arti –scrive- cioè in quelle proprie degli artigiani i migliori strumenti sono trovati a partire dalla natura, per esempio nell’edilizia la cordicella tesa, la squadra e il compasso>[3]. In questo caso, pertanto, non si associa la corda alla costruzione di angoli retti mediante il triangolo rettangolo, cosiddetto egiziano, di lati 3; 4; 5.

In verità nella geometria degli egiziani, il triangolo rettangolo di lati con le misure dette non viene mai considerato e a questo proposito il matematico e storico Bert Leendert Van Der Waerden scrive esplicitamente che, benché il 90% degli “storici” parlino di questo triangolo attribuendolo alla matematica egizia, non vi sia proprio nulla che avvalori questa tesi e, di conseguenza, che lo si sia usato per determinare angoli retti dai cosiddetti “tiratori di corda” ((rope-stretchers)[4]. La causa di questa circostanza “incredibile” a suo dire, sta, sia nella fatto che effettivamente  gli egiziani mostrano nelle loro costruzioni anche angoli retti, sia nella ipotesi a questo proposito avanzata da Moritz Cantor,[5] ma non in documenti in nostro possesso.

A me sembra, comunque, che l’ipotesi avanzata da Cantor non sia del tutto infondata per quanto riguarda la conoscenza del nostro triangolo rettangolo 3, 4, 5, ma piuttosto ci appare poco credibile il procedimento che per costruire angoli retti si dovesse ricorrere (ogni volta?), almeno nella pratica corrente, ad una corda di dodici nodi in modo da strutturarla nel nostro triangolo[6].

Riguardo alla terna 3, 4, 5, Cantor la nomina poiché, riportando un problema tratto dal Papiro di Berlino consistente nel trovare due numeri quadrati (x2 ed y2 diremmo noi) aventi per somma 100 e tali che uno risulti 4/3 dell’altro, si giunge alla soluzione 8; 6 (82 + 62 = 100) e pertanto alla terna pitagorica 8; 6; 10[7]

In ogni caso, conclude Cantor, si sottintende “senza dubbio” (unverkeennbar) la terna 3; 4; 5, primitiva, diremmo noi, delle due ottenute ad essa proporzionali.

Io penso, come già accennato, che i “tenditori di corde” non dovessero limitarsi, se pure la usarono, a questa pratica determinata alla costruzione di angoli retti pur sempre approssimativa per l’attuazione con corde e nodi, ma dovessero usare anche particolari strumenti, più elaborati, magari sempre con l’aiuto di opportune corde, per le loro costruzioni. Teniamo presente che Vitruvio attribuisce a Pitagora l’invenzione della squadra (normam inventam) senza costruzioni artificiose ma sfruttando tre asticelle lunghe tre, quattro e cinque unità di misura. Cosicché, avendo a disposizione la squadra, era risolta ormai facilmente la necessità della determinazione all’occorrenza di angoli retti e poter operare anche nell’edilizia.

Abbandoniamo Vitruvio che prosegue mostrando il raggiungimento di Pitagora del teorema che va sotto il suo nome, e ricordando il sacrificio che fece alla divinità e le applicazioni che possono attuarsi. Pitagora aveva trascorso molti anni presso gli Egiziani (ventidue anni, secondo Giamblico!) apprendendo naturalmente anche la loro matematica ma il sacrificio agli dei ricordato da Vitruvio, sacrificio di cui parla anche Diogene Laerzio, mostra una novità nei confronti del teorema e cioè, a mio parere, la differenza tra la conoscenza di alcuni casi particolari su numeri interi e noti ad Egiziani e ancor prima ai Babilonesi, e la dimostrazione valida in ogni caso.

LA VANTERIA DI DEMOCRITO

Dobbiamo ancora affrontare il problema dei “grandi tecnici” a cui si riferisce Aristotele che nel frammento già visto e che ripetiamo, sembra scendere ulteriormente nei particolari (Proprectico, Frammento 47):

Come infatti nelle altre arti, cioè in quella propria degli artigiani, i migliori strumenti sono trovati a partire dalla natura, per esempio nell’edilizia la cordicella (Istàtme) tesa, la squadra e il compasso (kanòn e tòrnos).[8]

Non solo quindi l’uso delle corde per le misure dei campi, per le equivalenze e altro, ma anche nell’edilizia ed aver superato gli egiziani voleva dire aver trovato accorgimenti più elevati sia nell’ambito delle misure superficiali e sia in quelle tridimensionali. Prende quindi consistenza la vanteria di Democrito (460-360)  riportata da Clemente Alessandrino[9]:

<…e nel comporre le figure geometriche e darne la dimostrazione, nessuno mai mi superò, neppure i cosiddetti arpedonapti degli egiziani >.

CONCLUSIONE

Una ipotesi abbastanza verosimile, anche se, come tutte le ipotesi, solo probabile, è che tra i precursori di Archimede cui fa riferimento Aristotele, ci sia proprio Democrito di Abdera, filosofo dai molti interessi e dalle molteplici capacità.

È possibile però che Democrito chiamasse “arpedonapti” quelli che erano in realtà i matematici egiziani, dato che fa riferimento sia all’accrescimento della geometria e sia al progresso qualitativo dato dalla dimostrazione, assente nella matematica pre-ellenica, iniziata peraltro già da Talete e da Pitagora.

Nulla vieta però di pensare che anche nella tecnica, quella della misura e del movimento dei corpi, Democrito abbia ottenuto risultati ricordati poi da Aristotele.

n.d.r: Ci scusiamo con l'autore e i lettori ma per problemi editoriali abbiamo dovuto traslitterare i termini greci con caratteri in italiano

[1] Da qui il detto attribuito ad Archimede <datemi un punto d’appoggio e vi solleverò il mondo!>

[2] Così traducono Giovanni Reale e Abraham P. Bos nella loro opera: Il trattato sul Cosmo per Alessandro attribuito ad Aristotele, Vita e Pensiero, Milano 1995, p. 219.

[3] Trad. Di Enrico Berti in Aristotele, Protreptico, UTET, Novara, 2008, p. 31.

[4] Così  B. L. Van Der Waerden, in Science Awakening, P. Noordhoff – Groningen – Holland, 1954 p. 6.

[5] Van Der Waerden non aggiunge altro ma  egli si rifà evidentemente alla famosa opera di M. Cantor, Vorlesungen ueber Geschichte der Mathematik, Ersten Band nel capitolo dedicato alla matematica egiziana (nell’ed. Teubner, Lepzig-Berlin del 1922, pp. 55 sgg. e specificatamente pp. 95-96 per il sistema che vedremo e pp. 105-106 per l’angolo retto.

[6] A titolo di curiosità, ricordiamo che Aristotele nella Locomozione degli animali, proprio nel passo in cui enuncia il teorema di Pitagora (708 b,30-709 a,2) ricorda anche una singolare formazione di un angolo retto tra la gamba dritta di un uomo fermo solo su tale gamba e il terreno: <Infatti gli arti che appartengono alla stessa coppia hanno naturalmente la stessa lunghezza, e la gamba che sopporta il peso deve essere retta in modo da formare un cateto perpendicolare al suolo>.

[7] Van der Waerden pone anche un’altra equazione del papiro con 400 al posto di 100 ottenendo così la terna 16; 12, 20.

[8] Notiamo che la tradizione attribuisce a Talo, nipote di Dedalo, l’invenzione del compasso. Non ci soffermiamo oltre su questa tradizione.

[9] Cfr. a questo proposito F. Enriques e M: Mazziotti, Le dottrine di Democrito di Abdera, Zanichelli, Bologna, 1948; pp. 16-17;  207:

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