Pubblichiamo la riedizione di un articolo del 2000 del prof Maracchia che fa il punto su cosa è la matematica agli inizi del terzo millennio. Anche se scritto 20 anni fa è ancora attualissimo. Tutti coloro che si occupano di scienza o di filosofia o di metafisica non possono prescindere dall "invasione" che la matematica ha operato nel nostro quotidiano. Essa è utilizzabile e utilizzata consapevolmente o inconsapevolmente da tutti, indipendentemente dal colore politico o dalla etnia di appartenenza. Trasforma quotidianamente le nostre vite e ci offre (ad esempio attraverso l'informatica) le strutture logiche su cui vive (male o bene che sia) la nostra società. Uniforma, appiattisce forse, indaga come uno strumento asettico che, come vedremo dall'articolo a seguire, tanto asettico non è. C.L.

 

 

Fig.1 - Didattica delle Scienze - informatica nella scuola - la scuola n°208 / maggio 2000. 

 

Senza entrare nel merito se il 2000 è l'anno in cui termina il secondo millennio oppure quello in cui ha inizio il terzo, riteniamo che l'impatto psicologico della cifra 2000 sia talmente forte da far decidere (erroneamente, a mio parere) per la seconda alternativa.

La stessa incertezza e le stesse polemiche si ebbero un secolo fa allorché si voleva stabilire se il 1900 era l'anno che concludeva il secolo oppure quello con cui cominciava quello nuovo.

Con la stessa scelta indicata per il millennio, consideriamo il 1900-1901 il nostro primo anno del secolo che sta per finire. Ed è per questo che, volendo tratteggiare la matematica di questo secolo prendiamo le mosse dal Secondo Congresso Internazionale di Matematica tenutosi a Parigi per l'appunto nell'agosto del 1900.

Non è soltanto la data, però, a spingerci a ricordare questo Congresso ma piuttosto la circostanza che fu proprio in questa occasione che David Hilbert, uno dei più grandi matematici di quell'epoca ma anche uno dei più grandi di ogni epoca, sviluppò il tema: Sur les problèmes futurs des mathématiques.

Hilbert, in una conferenza sviluppata in due giorni, enumerò ben 23 problemi che, secondo lui, i matematici avrebbero dovuto affrontare nel secolo appena iniziato.

Non si trattò, dunque, di una sfida su problemi che, come era accaduto tante volte nel mondo matematico (a cominciare da Archimede che si divertiva a mettere in difficoltà i matematici di Alessandria), Hilbert era riuscito a risolvere; si trattava, invece, di problemi ancora irrisolti che si erano presentati nei vari rami della matematica.

È naturale dunque che questi problemi costituirono un grande stimolo per tutto il mondo matematico, sia perché di grande importanza concettuale e sia per il fatto che tutti i matematici la pensavano come Hilbert il quale, nella presentazione dei problemi, aveva affermato che di un qualsiasi quesito il matematico potrà trovare la soluzione o stabilirne l'impossibilità, ma non potrà mai concludere di non saper rispondere![1]

A proposito dei problemi di Hilbert, ricordiamo che nel 1974 l'American Mathematical Society organizzò un incontro il cui tema era proprio l'esame dei 23 problemi di Hilbert e delle conseguenze che ne erano scaturite.[2]

Sarebbe assai lungo ed arduo prendere in esame questi problemi di Hilbert[3] e seguirne le varie fortune se si pensa che per la preparazione all'incontro detto furono contattati molti matematici esperti nei vari settori della ricerca con il risultato di una nuova lista di 130 problemi suddivisi in ben 27 aree matematiche![4]

In questa sede non possiamo presentare pertanto una rassegna dei problemi del grande matematico tedesco, né avremmo la forza di compiere un esame veramente significativo. Ci limiteremo a presentare solo quei problemi che a nostro parere hanno determinato un importante sviluppo della matematica in questo secolo e precisamente quelli relativi all'ipotesi del continuo (probl. I), alla non-contraddittorietà degli assiomi dell'aritmetica (probl. II) e alla applicazione dei metodi matematici alla fisica (probl. VI).

Com'è noto, il primo consiste nel riuscire a stabilire se tra la potenza del numerabile, qual è quella di un qualsiasi insieme i cui elementi possono mettersi in corrispondenza biunivoca con la successione dei numeri naturali, e la potenza del continuo, quella cioè dei punti di una retta oppure dei numeri reali[5], è possibile trovare una infinità intermedia.

Il problema ha avuto una grande importanza nell'approccio con l'infinito che con Cantor aveva avuto una nuova sistemazione e nei contatti con la teoria degli insiemi che stava acquistando una importanza sempre più grande.[6] Dopo molti tentativi di dimostrare questa ipotesi, si riuscì prima a trasferire la possibilità di una sua dimostrazione a quella della coerenza di altre teorie, sino a raggiungere con Paul J. Cohen la consapevolezza della indimostrabilità della ipotesi del continuo poiché indipendente dalla cosiddetta teoria ristretta degli insiemi (1963). Alla stessa stregua di un assioma indipendente dagli altri di una stessa teoria, lo si può dunque accettare oppure no.[7]

Anche il secondo problema di Hilbert terminerà con una dimostrazione di impossibilità; in altre parole, in un sistema in cui è possibile formalizzare l'aritmetica dei numeri naturali (ove quindi interviene l'infinito dovuto all'assioma che stabilisce l'esistenza non circolare del "successivo" e l'assioma di induzione) non è possibile giustificarne il rigore con le armi del sistema stesso.

Questo teorema (Gödel, 1931) è probabilmente il teorema di logica-matematica più importante del secolo e, si badi, non solo per il risultato raggiunto, quanto anche per il modo con cui si ottenne, dato che nel corso della dimostrazione, facendo uso di procedimenti ricorsivi, fu possibile rendere formale anche considerazioni metamatematiche. Non è possibile entrare qui nei particolari, basti pensare però quando si afferma, ad esempio che «la tale formula è dimostrabile, oppure non lo è, oppure è bella ecc.» si sta parlando intorno alla matematica (la formula) ma non si sta facendo matematica vera e propria; dunque si fa della metamatematica ed è in questo ambito, come aveva osservato Hilbert nel suo famoso "programma", che può asserirsi se quel sistema è o no coerente.[8]

Da varie strade si era già raggiunta nel secolo scorso la convenzionalità delle costruzioni matematiche, assolutamente legate soltanto agli assiomi premessi; con il teorema di Gödel il mondo matematico subisce un ulteriore trauma, foriero però di grandi sviluppi della logica matematica; si può credere o no alla coerenza della matematica, ma la scelta è personale, alla stregua di un atto di fede.

Il terzo problema citato pone un interrogativo altrettanto importante tra la matematica che appare sempre più esclusiva costruzione del pensiero e la realtà che ci circonda: è possibile applicare a questa il sistema assiomatico? Hilbert intende principalmente l'applicazione del rigore del modello geometrico alla meccanica e al calcolo delle probabilità ma non esita a considerare la ricerca dei principi basilari di ogni scienza uno dei principali soggetti della ricerca futura oltretutto dotata di una «particolare bellezza»[9].

Notiamo, però, che dopo aver enumerato e sommariamente trattato i suoi 23 problemi, Hilbert conclude affermando che le varie specializzazioni della matematica non la condurranno a dividersi, come era già accaduto per altre scienze[10] dato che essa è un tutto indivisibile per l'unità che mostra nei processi dimostrativi e le analogie tra i diversi suoi campi. E questo è così significativo che egli ritiene abbastanza sicuro, attraverso maestri geniali e giovani studiosi entusiasti, che si possa raggiungere nel secolo appena iniziato una buona visione di insieme.[11]

Queste opinioni ci portano ad un'altra caratteristica della matematica di questo secolo e cioè alla straordinaria proliferazione della produzione matematica che rischia, ad onta dell'ottimismo di Hilbert, il pericolo della eccessiva specializzazione.

Secondo Jean Dieudonné vi sono state maggiori idee matematiche e maggiori risultati tra il 1940 e il 1980 che non tra Talete (VII-VI secolo a.C.) e il 1940[12] e un calcolo approssimato della produzione matematica eseguito da Stanislaw Ulam porta a centomila il numero dei teoremi dimostrati nelle riviste ufficialmente riconosciute ogni anno![13]

Corrispondentemente, scrive Ulam, ciò comporta l'impossibilità di essere aggiornati persino sui risultati più rilevanti e aggiunge: «La varietà degli oggetti su cui lavorano i ricercatori più giovani sta crescendo in maniera esponenziale. Forse si potrebbe addirittura parlare di inquinamento del pensiero (…). In un certo qual modo si potrebbe pensare che, sia pure a malincuore, la tendenza sia contraria agli ideali scientifici, che aspirano alla comprensione, alla sintesi ed in particolare allo sviluppo di un sistema formale per la descrizione dei fenomeni della mente e della natura[14]».

Ritroviamo qui gli stessi timori di Hilbert che era però, come sappiamo, decisamente convinto della possibilità che lo sviluppo matematico avrebbe comportato anche delle sintesi tali da poter mantenere unitaria l'intera disciplina. Dieudonné, d'altra parte, che pur parla di esplosione delle pubblicazioni matematiche e di oceano di informazioni[15] reputa però banale la maggioranza dei lavori e considera solo una esigua minoranza (nei paesi "progrediti", afferma, uno ogni dieci milioni di abitanti!) in grado di superare il lavoro svolto nella propria tesi di laurea e infine decisamente pochi quelli che possono essere considerati grandi innovatori.[16]

Da una parte, dunque, si assiste, ad una notevole proliferazione dei lavori matematici e dall'altra però al tentativo di organizzarli per trarre da essi quelle novità autentiche che contribuiscono allo sviluppo della matematica. Nascono in questo secolo riviste specializzate che forniscono informazioni sulle pubblicazioni, articoli nella maggior parte, che appaiono in tutto il mondo nelle principali riviste. La più famosa di queste riviste, Mathematical Rewievs, stampata in America, pubblica quasi 4000 pagine l'anno con una media di sette, otto pubblicazioni segnalate per pagina. Queste pubblicazioni vengono distribuite a seconda dei vari rami della matematica e ogni numero è corredato di comodi indici per autori e per soggetto, indici che vengono poi raccolti alla fine di ogni anno in una pubblicazione separata.

La sintesi maggiore avviene però attraverso le nuove teorie unificanti. Occupiamoci pertanto, anche se brevemente, del collegamento che la matematica di questo secolo ha avuto con quello precedente per mostrare la naturale continuità della matematica e la nascita di tali teorie.

Nell'800 la matematica aveva subito profondi e significativi mutamenti. La geometria aveva ripreso molta parte della sua importanza grazie alla nascita delle geometrie non-euclidee che contribuirono a chiarire il significato di tutta la matematica. La geometria proiettiva aveva riportato i matematici al gusto del ragionamento sintetico unito alla bellezza delle figure e sembrava che con essa si fosse raggiunta la sintesi massima di tutta la geometria. Bertrand Russell ad esempio, considera la geometria proiettiva una vera e propria conoscenza a priori.[17] La geometria algebrica aveva poi riunito l'algebra alla geometria facendo cessare quell'alternanza di predominio di una sull'altra risolvendola in una collaborazione che appariva assai duratura e aveva unificato tutte le varie geometrie note sino ad allora.

L'analisi, poi, sembrava rigenerarsi nella ricerca di un rigore che la svincolasse dalla troppa pericolosa intuizione. Molti risultati furono ottenuti per il chiarimento di concetti e definizioni lasciati troppo spesso indietro nella tumultuosa corsa in avanti che essa aveva intrapreso anche per i suoi stretti legami con la fisica, legami iniziati il secolo precedente con la ricerca di modelli matematici opportuni.

Probabilmente è l'algebra a subire nel secolo scorso l'evoluzione maggiore: essa si trasformò, grazie allo sforzo di molti matematici, dall'antica algebra delle equazioni in algebra astratta. Il passo decisivo in tal senso fu compiuto, però, da un matematico appena ventenne, Evariste Galois, che pose le basi dello studio delle strutture dando origine ad uno sviluppo tuttora in atto che ha portato ad una matematica di grandi capacità sintetiche.

Anche il calcolo della probabilità ebbe un notevole sviluppo nel secolo XIX con la cosiddetta "curva gaussiana", con i risultati di Laplace e con quelli della famosa "scuola di Pietroburgo" che mostrò la possibilità di valutare l'errore che si sarebbe commesso nelle varie applicazioni (Chebyshev, 1846) e così via in un crescendo che mostrò come il calcolo della probabilità sia connesso a quasi tutte le manifestazioni scientifiche e pratiche del vivere moderno.

In teoria dei numeri, pur essendosi raggiunti notevoli risultati nel campo dei numeri primi e nella nascita dei numeri ideali,[18] molti problemi erano rimasti aperti tra i quali i più famosi quello relativo alla determinazione di una distribuzione dei numeri primi e del notissimo "teorema di Fermat".

Notiamo, infine, senza entrare nel merito della disciplina, la topologia, che si svilupperà essenzialmente nel nostro secolo, il non meno famoso "problema dei quattro colori" anch'esso rimasto aperto,

Passando al nostro secolo, vediamo che molte delle premesse poste in quello precedente vengono sviluppate e molti dubbi sul rigore di determinati procedimenti vengono chiariti. Viene anche risolto il "problema dei quattro colori" (K. Appel e W.Haken, 1977[19]) e finalmente anche quello di Fermat (A. Wiles, 1994).

È naturale, d'altra parte, che la matematica, come ogni altra produzione umana teorica o tecnica, prosegua il suo sviluppo, risponda, positivamente o negativamente, a molti interrogativi rimasti in sospeso e ne crei altri. Inoltre, a prescindere da problemi veri e propri, vi sono stati in questo secolo sviluppi notevoli di rami particolari della matematica pura ed applicata quali, ad esempio, la probabilità, di cui si è fatto già cenno, in grado di estendere il suo contributo ad ogni tipo di scienza (genetica, medicina, termodinamica, fisica delle particelle ecc.) con il risultato di mutare lo stretto determinismo classico legandolo all'assoluto disordine del microcosmo. La probabilità, inoltre, che pure era nata tre secoli prima, subisce nel nostro secolo uno sviluppo eccezionale. D'altra parte, essa, assiomatizzata secondo le speranze di Hilbert, sembra essere una delle principali branche della matematica legata a tutti gli aspetti, consapevoli o no, della nostra vita. Le stesse dimostrazioni, considerate assolutamente vere e inattaccabili, possono essere esaminate in concorrenza con procedimenti di tipo probabilistico non appena la grande rapidità di calcolo dei computer permette di superare difficoltà una volta insormontabili.[20]

Un "naturale" riflesso del legame tra l'ordine e il disordine (tra macrocosmo, potremmo dire, e microcosmo) lo si può osservare nel cosiddetto "Metodo Montecarlo" che consente di approssimare risultati di vario tipo attraverso distribuzioni casuali opportunamente simulati.[21]

Abbiamo visto come il computer abbia favorito alcuni particolari sviluppi matematici ed altre sue applicazioni le vedremo in seguito. Osserviamo ora un altro risultato matematico non solo strettamente legato a questo strumento, ma che ne ha favorito addirittura la nascita. Infatti, problemi legati alla computabilità e alla ricorsività delle funzioni aritmetiche hanno portato al risultato (Alan Turing, 1936) di calcolabilità mediante una macchina ideale atta a tale calcolo.[22] Tale macchina è il prototipo di un automa e cioè di «oggetti matematici appartenenti alla teoria della computazione e correlati con la tecnologia degli elaboratori elettronici»[23] dato che si trovano in essa tutte quelle operazioni che saranno poi le operazioni delle macchine calcolatrici.

Un ramo della matematica che nel presente secolo ha avuto un grande impulso è la topologia nata nel secolo scorso.[24] Si tratta di uno studio volto alla determinazione di quelle proprietà che rimangono invariate per trasformazioni biunivoche e continue. Come la geometria classica si può intendere l'esame di quelle proprietà che rimangono invariate se sottoposte a movimenti rigidi e la geometria proiettiva quello delle proprietà invariate rispetto a proiezioni e sezioni delle varie figure, nello stesso ordine di idee la topologia studia solo proprietà indipendenti da ogni concetto di misura ed è quindi assai duttile per poter essere applicata a problemi apparentemente assai diversi e subordina le altre geometrie tra cui la geometria algebrica.

Altri rami della ricerca destinati ad uno sviluppo futuro sono quell'analisi numerica che si affianca al computer con la costruzione di algoritmi opportuni e quella matematica discreta adatta, nei suoi aspetti applicativi, ad affrontare sistemi finiti di vario tipo (gestioni aziendali, tecniche crittografiche, informazione ecc.).[25] Aggiungiamo a questi anche l'Analisi non-standard (Abraham Robinson,1966[26]) che ha consentito un uso matematicamente corretto dell'infinitesimo alla Leibniz (alcuni indietreggiano addirittura sino ad Archimede) non solo riuscendo in tal modo a semplificare molte dimostrazioni di analisi trascurando il "passaggio al limite" ma riuscendo a fornire molte applicazioni alla fisica e all'economia.

Lungo sarebbe il solo elenco degli sviluppi che avvennero in questo secolo: l'articolo Caratteri ed indirizzi della matematica moderna di Fabio Conforto e Francesco Severi[27] e il paragrafo La matematica contemporanea di J. Dieudonné[28] mostrano molti argomenti che gli autori considerano importanti in questo secolo e suscettibili di ulteriori sviluppi. In pubblicazioni più recenti lo sviluppo matematico nei suoi principali rami può essere letto negli Annali della Scienza e della Tecnica contemporanee (1875-1975) che di decennio in decennio segue il progredire delle varie scienze![29] Citiamo, infine, i volumi dedicati al "Novecento" nella monumentale opera: Storia del pensiero filosofico e scientifico a cura di Ludovico Geymonat.[30]

Non v'è dubbio, comunque, che un aspetto della matematica di oggi, anche questo non nuovo e ancora minoritario è quello, cui abbiamo già accennato, delle sue possibilità applicative[31], che si realizza prevalentemente con la cosiddetta "modellistica" e cioè con la capacità di costruire, con tutte le intuibili limitazioni e pericoli, schemi matematici di avvenimenti di natura diversa.[32] Ricordiamo, ad esempio, il calcolo differenziale assoluto e il calcolo tensoriale che fornirono un prezioso strumento alla teoria della relatività

Accenniamo anche alla possibilità di trattare oggetti di natura e forma diverse attraverso un nuovo procedimento matematico che Benoit B. Mandelbrot, il suo ideatore (1975), chiamò «geometria dei frattali» (dal latino "fractus" nel senso, scrive Mandelbrot, di "irregolare").[33]Con questo nuovo sistema, infatti. È possibile costruire modelli matematici semplici di oggetti complessi di forma qualsiasi iterando procedimenti di approssimazione sempre più spinti e, oltretutto, facilmente eseguibili al computer. Le approssimazioni frattali sono in grado di attribuire a tali oggetti anche dimensioni non intere diverse dalle normali in modo da stabilire, come afferma lo stesso Mandelbrot, una misura del grado di irregolarità dell'oggetto.[34]

Un'altra originale applicazione della matematica, si è avuto con la cosiddetta Teoria delle catastrofi (René Thom, 1974[35]) come sviluppo dello studio delle "singolarità" delle funzioni.[36] "Catastrofi" sono bruschi mutamento che avvengono come reazioni improvvise di un sistema sottoposto a variazioni di condizioni esterne. Notiamo che dopo una prima esaltazione negli anni settanta e numerose pubblicazioni che presentavano la "teoria delle catastrofi" come una vera e propria rivoluzione matematica capace anche di prevedere avvenimenti di ogni tipo, la teoria si stabilizzò, per così dire, in un approccio matematico di molte "metamorfosi" ("perestroika", preferisce scrivere Arnol'd), adatte cioè a studiare discontinuità e bruschi cambiamenti sia nel campo della matematica vera e propria e sia, essenzialmente, in molti aspetti della realtà fisica.

La caratteristica principale della matematica del nostro secolo è però quello del rigore e questo comporta il desiderio di poter esprimere in forma assiomatica tutta la matematica vecchia e nuova e una revisione dei fondamenti. I matematici impegnati nello studio dei fondamenti si divisero in Formalisti (Hilbert, Gödel…), Logicisti (Frege, Peano, Russell…) e Intuizionisti (Brouwer, Heyting…) a seconda del diverso valore dato al significato e alla realtà degli assiomi. Non possiamo soffermarci su queste pur importanti scuole che, però, in questi ultimi anni del secolo hanno attutito in parte la loro diversità.[37]

Poco dopo, anche il movimento bourbakista, per molti aspetti nel solco del formalismo, si occupò della sistemazione della matematica. Tale movimento, operante dal 1935, trasse dal rigore perseguito anche motivo e stimolo dell'unificazione di molte parti della matematica attraverso l'osservazione di palesi analogie tra argomenti apparentemente diversi che risultavano, al contrario, isomorfi nella struttura logica.[38] In quest'ottica furono eliminate le convenzionali suddivisioni della matematica e il solco tra matematica e realtà divenne sempre più ampio e di conseguenza anche quello tra i matematici puri e quelli applicati.[39] I bourbakisti classificarono invece la matematica a seconda delle sue strutture (strutture algebriche, strutture d'ordine e strutture topologiche) dando un grande impulso alla teoria degli insiemi come fattore unificante della matematica. Questo ambizioso obiettivo, ad onta degli oltre trenta volumi già pubblicati, non è stato raggiunto né lo sarà in futuro poiché «[è] spesso impossibile inquadrare molti nuovi settori [della matematica] secondo la gerarchia strutturale imposta dai bourbakisti» [40]

Questa corrente rigorista che ha impressionato comunque il mondo matematico, ha sostituito, ad esempio, la antica e gloriosa geometria con l'algebra astratta e si trasferì anche nella didattica diffondendosi in tutta l'Europa, compresa l'Italia ove venne chiamata, come si ricorderà, "insiemistica".

Ma se da un punto di vista scientifico era ed è giustificabile tendere ad un rigore più raffinato, nella didattica l'insegnamento conseguente, essenzialmente in quello medio, risultò eccessivamente astratto tanto che in questi ultimi anni da più parti si è ritornati verso una matematica meno rigorosa ma più intuitiva.

Un analogo parallelismo tra scienza e didattica sta verificandosi oggi con l'uso del computer. Non c'è dubbio che l'ingresso di questo rapidissimo operatore, dotato di una memoria eccezionale e pronta, accompagnerà per sempre i matematici ad ogni livello[41]. Ma l'uso didattico del calcolatore tascabile, specialmente dei tipi più moderni in grado di fare quello che pochi anni or sono facevano solo i grandi calcolatori, non è ancora stato ben studiato e si rischia di esaltarne l'uso senza una doverosa e prudente sperimentazione.

La didattica della matematica, d'altra parte, acquisterà un'importanza sempre più decisiva specialmente per la competizione già in atto tra le Nazioni più avanzate. Pertanto la capacità di sintesi al livello scientifico e didattico (cui potrà servire anche una buona indagine storica che aiuti la comprensione dello sviluppo matematico) e la possibilità che la matematica non perda le sue caratteristiche fondamentali formative, sono quanto mai opportune.

A testimonianza della incredibile impressione che la matematica ha sempre prodotto e della grande fiducia che ha sempre fornito, si possono riportare le parole con cui ha inizio uno dei più antichi documenti della matematica, il cosiddetto Papiro Rhind (1600 a. C. circa): «[La matematica] regole per studiare la natura e per comprendere tutto ciò che esiste, ogni mistero, ogni segreto!».

Questo è ancora vero e dunque possiamo dire che è sempre stato vero. Si tratta, però, non solo di saper andare avanti e su questo non sembrano esservi dubbi, ma anche di riuscire a riunificare la matematica il più possibile, cosa assai difficile, e, cosa forse ancora più difficile, di saperla insegnare.

Silvio Maracchia

 

[1] «Nous entendons toujours résonner en nous cet appel: Voila le problème, cherches-en la solutions. Tu peux la trouver par le pur raisonnement. Jamais, en effet, mathématicien ne sera réduit à dire «ignorabimus» » v. D. Hilbert, Sur les problèmes futurs des mathèmatiques, ( tr. di L. Laugel) ed. J. Gabay, Sceaux, 1990, p.12. Tutte le citazioni del lavoro di Hilbert saranno tratte dalla presente edizione, ristampa di quella del 1902 permessa dall'Autore e da lui migliorata rispetto all'edizione originaria tedesca apparsa nel 1900 nelle Göttinger Nachrichten.

[2] Notizia tratta dall'interessante articolo, E. Ambrisi, B. Rizzi, I problemi di Hilbert: rilevanza storica e metodologica, "Periodico di Matematiche, 2, 1993 pp. 7-16.

[3] Un buon percorso su alcuni dei problemi di Hilbert si può trovare in U. Bottazzini, Il flauto di Hilbert, UTET, 1990, cap.XVIII "Problemi irrisolti e nuove teorie matematiche", pp.339-357. A questo proposito si legga anche la nota n. 29 del presente articolo.

[4] E. Ambrisi, B. Rizzi, art. cit.

[5] Anziché i punti di una retta si possono considerare anche solo quelli di un qualsiasi segmento cosi come è possibile considerare i soli numeri reali compresi tra due di essi.

[6] «La chiarificazione definitiva della natura dell'infinito -scrive Hilbert nel suo lavoro Sull'Infinito (cfr, l'antologia La filosofia della matematica curata da C. Cellucci, Laterza, Bari, 1967, p.167)- non riguarda esclusivamente l'ambito degli interessi scientifici ma è necessaria per la dignità stessa dell'intelletto umano». Classico è ormai l'articolo di K. Gödel, What is Cantor's Continuum Problem? apparso nel 1964 in Philosophyof Mathematics, Prentice-Halle (tr. italiana in C. Celluci, La filosofia della matematica, Laterza, Bari, 1967, pp. 113-136.

Per una storia dell'ipotesi del continuo si legga Towards a History of Cantor's Continuum problem di Gregory H. Moore, apparso nel volume: The History of Modern Mathematics atti del corrispondente Simposio tenutosi a Vassar College, Poughkeepsie, New York, 20-24 giugno 1988, Academic Press, S. Diego California, 1989, vol. I, pp. 79-121; perannuncia l'Autore nell'Introduzione: «L'ipotesi del continuo ha contribuito alla creazione di nuove significative parti della matematica». Riguardo alla teoria degli insiemi, Il grande matematico polacco Stanislaw M. Ulam (ma si potrebbero riportare molte citazioni da parte di vari matematici) afferma che essa «ha rivoluzionato la matematica» (cfr. Avventure di un matematico, Palermo, Sellerio, 1995, pp.345-346) collegandola proprio con l'ipotesi del continuo e con le caratteristiche unificanti che ne derivano.

[7] Cohen stesso mostrerà l'analogia tra il tentativo di dimostrare il V postulato di Euclide e quella relativa all'ipotesi del continuo.

[8] Cfr. E. Agazzi, Introduzione ai problemi dell'assiomatica (Vita e Pensiero, Milano, 1961) anche per il cosiddetto "programma di Hilbert.

[9] «Il est certain que l'ètude et la discussion des principes d'une science possèdent un charme particulier et l'examen de ces principes sera toujours un des plus importants sujets de recherches» (op. cit. p.26).

[10] «Je ne le pense ni ne l'espère» scrive a questo proposito (op. cit. p.56).

[11] Le due domande poste da Hilbert sul pericolo della frammentazione e sulla impossibilità da parte di un singolo studioso di poter dominare l'intera scienza, cui egli risponde, come abbiamo visto, negandone il pericolo, vengono considerata nell'art. cit. di E. Ambrisi e B. Rizzi per la loro importanza e attualità un prolungamento dei 23 problemi e "classificati" come 24° e 25°.

[12] Citato da U. Bottazzini op. cit. p.357 che fa riferimento al lavoro Logica e matematica nel 1980 del matematico francese apparso nel volume La nuova ragione Scienza e cultura nella società contemporanea, Bologna, Scientia-Il Mulino 1981.

[13] S. Ulam racconta che fece mentalmente questo calcolo durante il corso di una sua conferenza di tutt'altro argomento ed aggiunge che il giorno dopo fu avvicinato da due giovani ricercatori che avevano assistito alla conferenza e che, sollecitati dal calcolo di Ulam, avevano fatto a loro volta una ricerca presso la Biblioteca dell'Istituto concludendo che il numero dei teoremi dimostrati ogni anno era circa il doppio! (cfr,S. Ulam, op. cit. p.352).

[14] Questo avvicina Ulam alla speranza espressa da Hilbert nel suo VI problema e cioè di poter assiomatizzare la descrizione dei fenomeni naturali.

[15] J. Dieudonné, L'arte dei numeri. Matematica e Matematici oggi, Mondadori, Milano, 1989, parag.3 ("L'attività dei matematici e e la comunità matematica") del cap.I; opera pubblicata due anni prima da Hachette a Parigi.

[16] Id. parag.4 ("Maestri e Scuole") cap.I. Dieudonné ricorda inoltre che l'equivalente del premio Nobel , cioè la "medaglia Fields", è stata assegnata dall'anno di nascita (1936) soltanto a trenta matematici di varie nazionalità (uno solo italiano).

[17] B. Russell, Essay on the Fundations of Geometry (1897); citazione tratta da La storia del pensiero matematico di M. Kline (Einaudi. Torino, 1991, vol.II, p.1206) che in questo punto, dato che Russell non considerava a priori la geometria euclidea, né quelle non-euclidee, osserva giustamente: «Col senno di poi è possibile vedere che Russell aveva sostituito al pregiudizio euclideo un pregiudizio proiettivo»

[18] Si tratta di numeri creati dal matematico Ernst Kummer nel tentativo di risolvere il "teorema di Fermat".

[19] Si noti che su questa dimostrazione, operata con l'ausilio di un computer ad alta velocità che lavorò per circa 1200 ore, riempiendo centinaia di pagine, suscita tuttora molte perplessità per un non impossibile difetto nello schema logico e per la mancata pubblicazione dei programmi di calcolo. Qualche matematico considera pertanto ancora insoluto il famoso problema.

[20] Ho ascoltato molte interessanti considerazioni in questo senso in una conferenza tenuta all'Accademia dei Lincei circa dieci anni fa da Gaetano Fichera. È molto probabile che il testo della conferenza (Il calcolo infinitesimale alle soglie del Duemila) si trovi nei rendiconti dell'Accademia, io ne posseggo una copia dattiloscritta donatami dall'Autore.

[21] La genesi di questo singolare metodo si può leggere nel lavoro citato di S. Ulam (pp. 250 sgg.); con tale metodo non si ottengono (mai -sottolinea Ulam) risposte esatte come si possono ottenere talvolta con altri procedimenti matematici; però con mezzi molto semplici si possono ottenere approssimazioni di cui si può calcolare la probabilità di errore. Questo metodo, che non sembra abbia oggi la fortuna che meriterebbe, consente inoltre numerosissime simulazioni di avvenimenti reali.

[22] A. M. Turing, On Computable Numbers, with an Application to te Entscheidungs-problem ("problema della decisione"), London, Math. Soc.. 42, 1936-37. Sulla ricorsività, computabilità, macchina di Turing vi sono molti testi ormai a disposizione; ad esempio, per la semplicità dell'esposizione unita ad un buon rigore si veda M. Borga e D. Palladino: Oltre il mito della crisi. Fondamenti e filosofia della matematica nel XX secolo (La Scuola, Brescia,1997, pp. 169 sgg.).

[23] Cfr. G. Melzi, Le idee matematiche del XX secolo, Borla, Roma, 1983, p. 113. La proposizione che «Le funzioni aritmetiche sono computabili» (non si tratta di un'affermazione ma solo dell'impostazione di un problema dato che non tutte le funzioni aritmetiche sono computabili ma solo tutte e solo quelle ricorsive) (pp.104-120) rappresenta la settima dei dieci modi di affrontare, secondo Melzi, l'infinito.

[24] Solitamente come data di nascita della topologia (detta anche Analysis Situs ) viene considerato il lavoro di Riemann del 1851

[25] Si legga l'articolo: La matematica discreta attraverso problemi di F. Eugeni in Cento anni di matematica, Atti del Congrsso "Mathesis Centenario, 1895-1995", a cura del Comune di Roma e dell'Associazione Mathesis, Palombi, Roma, 1996 (pp. 84-102).

[26] A. Robinson, Non-standard analysis, (Los Angeles, 1966). In italiano è possibile leggere la traduzione di Elementary Calculus, di H. J. Keisler (Elementi di Analisi Matematica, Piccin, Padova, 1982); nella "Prefazione" e specialmente nella "Conclusione" si trova una storia e una motivazione dell'analisi non-standard: «Il risultato di Robinson, scrive Keisler nella prima, probabilmente si porrà come una delle maggiori conquiste della matematica del ventesimo secolo». Noi non siamo in grado di giudicare se l'entusiasmo di Keisler non risulti eccessivo, certamente questo nuovo approccio non si è fatto ancora pienamente strada. Ad ogni modo una chiara idea di questa nuova analisi si può trovare nell'articolo di uno dei traduttori dell' edizione italiana: R. Ferro, Breve introduzione all'analisi non-standard, "Periodico di Matematiche", nn.1-2, 1986, pp.59-72.

[27] In Enciclopedia delle MatematicheElementari , Hoepli, Milano, ristampa del 1954 dell'ed. del 1949 Vol.III parte seconda, pp. 751-813. Osserviamone l'indice: Critica dei principi dell'analisi infinitesimale; La teoria delle funzioni di variabile reale; Le equazioni differenziali a derivate parziali della fisica matematica; L'analisi funzionale; La critica dei principi dell'aritmetica; La teoria dei numeri; L'analisi qualitativa; La teoria delle equazioni algebriche; Le funzioni ellittiche e la teoria generale delle funzioni analitiche; Funzioni ellittiche, abeliane e trascendenti connesse; Ulteriori sviluppi dell'analisi qualitativa; La geometria proiettiva; Il programma di Erlangen e la teoria dei gruppi continui; La geometria degli iperspazi; La geometria algebrica; Evoluzione della geometria differenziale; La topologia; La critica dei fondamenti della geometria; La teoria degli insiemi; La matematica astratta; Il calcolo delle probabilità.

[28] J. Dieudonné, L'arte dei numeri… op. cit.parag. 5 del cap.V. Ecco l'elenco degli argomenti esaminati: La logica e la teoria degli insiemi; Combinatoria; Categorie e Funtori; Algebra; Gruppi "Astratti"; Algebra commutativa; Algebra omologica; Topologia generale; Topologia algebrica e differenziale; Analisi classica; Integrazione e calcolo delle Probabilità; Spazi funzionali e operatori; Analisi armonica commutativa; Equazioni differenziali; Equazioni alle derivate parziali; Geometria differenziale; Geometria analitica; Gruppi di Lie; Teoria dei numeri.

[29] Il primo intervallo è di quindici anni, l'ultimo di cinque. Questi Annali si trovano nel terzo volume di Scienziati e Tecnologi contemporanei, EST Mondadori, Milano, 1975 (pp. 209-705). La matematica in ogni decennio considerato viene suddivisa in: Logica e Teoria degli insiemi; Teoria dei numeri; Teoria dei gruppi; Algebra; Geometria algebrica; Topologia; Analisi funzionale; Probabilità; Matematica applicata (dal 1940). I testi matematici si devono a G. Giorello (consulente J. Dieudonné); in essi si trovano vari cenni sull'esito che via via hanno avuto alcuni dei 23 problemi di Hilbert.

[30] Garzanti, Milano, 1970-1996 (il numero dei volumi dedicato al novecento varia a seconda delle edizioni; nella nostra essi sono, ad esempio, quattro).

[31] Scrive J. Dieudonné a questo proposito (op. cit.p. 31):«Esiste tutta una parte importante della matematica che è nata per fornire modelli alle altre scienze, e non se ne deve minimizzare l'importanza. Ma questa rappresenta soltanto una frazione, dal 30 al 40%, di tutta la matematica». Molto più pessimista nei confronti della matematica utile è Godfrey H. Hardy , Apologia di un matematico (De Donato, Bari 1969, p.62): «Voglio dire che solo una minima parte della matematica può avere un'utilità pratica, e quel poco è relativamente noioso»

[32] Per i problemi che nascono con la modellistica si legga, Modelli matematici di Giorgio Israel (Ed. Riuniti,Roma, 19882) e specialmente il terzo capitolo anche per i contatti con i calcolatori.

[33] I lavori nei quali Mandelbrot espose la teoria dei frattali sono: Les objets fractals (Flammarion, Parigi, 1975); Fractals: Form, Change and Dimension (Freeman, S. Francisco, 1977); The Fractal Geometry of Nature (ivi, 1982). Seguì nel 1984 una seconda edizione del primo lavoro. La traduzione italiana del 1987; Mandelbrot. Gli oggetti frattali. Forma, caso e dimensione, (Einaudi, Torino) a cura di R. Pignoni, fu eseguita, in concordanza con l'Autore, sulle due edizioni indicate.

[34] «L'oggetto concreto nella sua irregolarità, può essere tirato fuori dal suo nascondiglio ed osservato. Questa evoluzione non avrebbe potuto aver luogo senza il contemporaneo sviluppo ed uso dei calcolatori»; così scrivono L. Peliti e A. Vulpiani nella "Prefazione" dell'edizione italiana citata nella nota precedente.

[35] R. Thom, Catastrophe Teory: its Present State and Future Perspectives, Warwick, 1974.

[36] Notiamo che la teoria delle singolarità è a sua volta una generalizzazione dello studio delle funzioni nei suoi punti di massimo e minimo. Cfr. V. I. Arnol'd, Teoria delle catastrofi, (Bollati Boringhieri, Torino, 1986, traduzione di F. Aicardi eseguita sull'ed. inglese dello stesso anno e non su quella russa del 1983); notiamo che V. Arnol'd viene considerato, assieme a R, Thom, fondatore della teoria delle catastrofi.

[37] Per le motivazioni dei tre indirizzi rimandiamo al lavoro già citato di M. Borga e D. Palladino, Oltre il mito della crisi…nel quale è possibile trovare anche una vasta bibliografia specifica. Notiamo solo che Gödel, pur avendo dimostrato l'indimostrabilità della coerenza di un sistema formale nel senso già indicato, dichiara tuttavia platonicamente che «classi e concetti possono essere concepiti come oggetti reali (…) entrambi esistenti indipendentemente dalle nostre definizioni e costruzioni. Mi sembra che l'assunzione di tali oggetti sia altrettanto legittima dell'assunzione dei corpi fisici» (K. Gödel, La logica matematica di Russell, nell' op. cit. di C. Cellucci, La filosofia della matematica, pp. 81-112, la citazione si trova nelle pp.94-95.

[38] Secondo l'acuta osservazione di M. Borga e D. Palladino , op. cit. p.193, il fatto che i bourbakisti intitolassero la loro opera Éléments de Mathematique usando un inusuale singolare, testimonia la loro intenzione di riunificare "le matematiche".

[39] Osserviamo che la matematica di ogni tempo ha avuto sempre un aspetto applicativo; in questi ultimi tempi, però le sue applicazioni hanno superato i vecchi confini della fisica e dell'economia ad hanno invaso tutte le scienze.

[40] M. Borga e D. Palladino: Oltre il mito della crisi…op. cit. (pp.191-197; la citazione è a p.196) utile per varie notizie di carattere storico e matematico sul bourbakismo e molte citazioni tratte dai lavori del cosiddetto Nicolas Bourbaki (si tratta in realtà di uno pseudonimo che celava diversi matematici). Cfr. anche l'articolo Dagli anni 30 ad oggi di Alberto Conte posto in appendice all'opera citata di M. Kline (pp.1413-1427). Cfr. inoltre U. Bottazzini, op. cit. 429-433 e, dello stesso autore, l'articolo Teoremi e congetture apparso nel vol: X (Il novecento, 4) della già citata Storia del pensiero filosofico e scientifico (pp.115-144) in cui viene presentata e commentata la crisi del bourbakismo.

Abbiamo visto, nel corso del presente articolo, che in molti casi l'uso del computer è stato molto importante e talvolta essenziale. S. Ulam che ha assistito alla nascita, per dir così, del computer, ritiene che «l'impatto ed il ruolo dei calcolatori elettronici avrà effetti significativi anche nell'ambito della matematica pura, esattamente come si è già verificato per la matematica applicata alle scienze, ed in particolare alla fisica, all'astronomia e alla chimica[41]» (S. Ulam, op. cit, p.350). Notiamo però il pericolo di confondere un operatore "chiuso" che lavora al finito qual è il computer, con le caratteristiche del nostro cervello decisamente "aperte" e capace di operare con l'infinito (cfr. l'op. cit. di G. Israel, p.122 sgg.)

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