Premessa. Lo sviluppo del rigore appare in tutta la sua portata se si osservano le varie tappe che via via ha raggiunto. Da prime cognizioni (geometriche) frammentarie e distaccate (qualche formula atta al calcolo di aree o di volumi, conoscenza parziale di qualche proprietà ecc.) si passa a proprietà sempre più legate tra loro e giustificate attraverso «evidenze» che vengono a loro volta esaminate, controllate e raffinate.

Anche in aritmetica, sebbene in tempi diversi e con maggior lentezza, si può osservare prima il conseguimento di alcune proprietà parziali e poi via via il loro coordinamento. Questo si ottenne , all'inizio, dalle suddivisioni dei numeri in opportune classi (numeri pari, dispari, primi, perfetti, quadrati, triangolari ecc. ecc.) e dalle proprietà che cominciavano a sorgere. Come vedremo, però, gli stessi vocaboli usati per indicare la "dimostrazione" o il "teorema", mostrano un'origine piuttosto geometrica di quella caratteristica specifica della matematica costituita appunto dal rigore dimostrativo. E per questo ci rivolgeremo alla geometria anche se molte cose che vedremo potrebbero adattarsi anche allo sviluppo di una teoria dei numeri razionale e, ma solo molto dopo della geometria, ad una sua organizzazione ipotetico-deduttiva.[1]

I segmenti logici che legano le varie proprietà diventano sempre più...lunghi, tanto che è possibile organizzare molti risultati ottenuti in esposizioni che da cognizioni semplici portino a proprietà complesse e non sempre evidenti (nascita degli Elementi). Con procedimenti di «analisi» e successivamente di «sintesi», la matematica e in particolare la geometria, assumono dunque una struttura deduttiva che le consente, in un primo tempo, di apparire «vera» e quindi «unica».

L’esistenza però di altre possibili costruzioni geometriche ugualmente rigorose anche se in contrasto con quella tradizionale (geometrie non-euclidee), porta necessariamente ad una relativizzazione sempre più spinta della matematica (nascita del sistema ipotetico-deduttivo propriamente detto e dei modelli) ed alla conseguente analisi dei fondamenti non solo della geometria e della matematica in generale, ma di qualsiasi costruzione formale.

La successiva dimostrazione della impossibilità di poter giustificare una teoria formale sufficientemente potente per consentire nel suo ambito la formalizzazione dell’aritmetica, e quindi della geometria, nell’ambito della teoria stessa, porta ad un ulteriore raffinamento del rigore, ad una diversa valutazione del concetto di «verità» e di «evidenza».

In definitiva, con una ulteriore sintesi, si può dire che lo sviluppo del rigore si è avuto prima collegando e ordinando le varie nozioni matematiche e poi esaminando la validità e la portata di tali ordinamenti. In questo sviluppo, quindi, sono coinvolti matematici e filosofi in una eterna ricerca che è in definitiva ricerca di verità.

Tutto ciò è avvenuto in circa 2500 anni con una accelerazione che, almeno da 150 anni a questa parte, è diventata sempre maggiore.

Scopo di questo articolo è quello di fornire un'ipotesi su come possa essere nata la scienza matematica razionale e dimostrativa. Un'ipotesi che prenderà in esame lo sviluppo delle idee piuttosto che i protagonisti che pure potranno essere individuati con una buona attendibilità.

Non c’è dubbio che già nelle civiltà pre-elleniche esistevano determinate formule atte a calcolare le aree di alcune super­fici e i volumi di alcuni solidi secondo le esigenze pratiche di una vita piuttosto semplice almeno matematicamente parlando. Si trattava di formule talvolta esatte, talvolta soltanto approssi­mate, di cui ignoriamo l’origine. Si può pensare che furono ottenute per via sperimentale, o per intuizione dalla osservazione di certe regolarità.

Gli storici della matematica sono comunque concordi nel ritenere che i matematici pre-ellenici ignorassero la «dimostrazione» e cioè quella caratteristica fondamentale della matematica, onore e vanto della matematica greca[2].

Fu proprio presso i Greci che la matematica e in particolare la geometria, cominciò a distaccarsi da una pura e semplice rappresentazione materiale iniziando quel processo di razionaliz­zazione che la renderà del tutto astratta, consentendo collegamenti con figure diverse, proprietà valide per ogni figura di un certo tipo e stabilendo anche certi criteri di giustificazione.

Sarebbe molto interessante poter stabilire con certezza e precisione come avvenne la conquista della dimostrazione e del metodo assiomatico, cioè del sistema ipotetico deduttivo, così come appare negli Elementi di Euclide,; ci dobbiamo accontentare solo, come ho già detto, di ipotesi, anche se abbastanza verosimili.

Molti studiosi si sono dedicati allo studio di queste importanti conquiste della matematica[3], alcuni facendo prevalere l’influenza filosofica[4], altri trovando massimamente nella matematica stessa i motivi di questo sviluppo. Così l’epoca in cui ciò avvenne viene posta nel V oppure nel IV secolo.

Da parte mia, osservo che un tale importante sviluppo si attuò per gradi con il contributo di matematici e di filosofi. I primi raggiunsero ben presto in Grecia alcune giustificazioni che, se anche non avevano un vero significato dimostrativo, erano comunque già un tentativo in questa direzione; successivamente questi risultati ed altri maggiormente convincenti, attirarono, per dir così, l’attenzione dei secondi cioè dei filosofi che cercarono di analizzare, interpretare o respingere l’apparente sicurezza delle conclusioni matematiche contri­buendo essi stessi ad una maggiore chiarificazione.

L'importanza della simmetria. Tutto ciò cominciò, a mio parere, ben presto e si estese dal VI al IV secolo attraverso le fondamentali tappe che possiamo indicare, come  vedremo in dettaglio più avanti, nella sensazione di regolarità dato dalla simmetria delle figure; nella scoperta matematica e dialettica della dimostrazione indiretta (dimostrazione per riduzione all’assurdo) e in quella diretta; nella scoperta delle grandezze tra loro incommensurabili e conseguente razionalizzazione  degli enti matematici e, infine, nelle discussioni tra matematici e filosofi sul significato di alcuni aspetti della matematica. Come dire, per indicare i maggiori protagonisti, attraverso i risultati di Talete, Pitagora e i matematici della sua scuola, Parmenide, i Sofisti e, infine, Platone, Menecmo ed Aristotele.

Il primo matematico che cominciò, infatti a mostrare un nuovo atteggiamento nei confronti della matematica, fu anche colui che viene considerato il primo matematico greco in senso assoluto: Talete di Mileto (624-548 a.C. circa).

Però, la circostanza che fu proprio il primo matematico greco a mostrare un atteggiamento diverso nei confronti della matematica, potrebbe essere interpretato non solo nel nuovo modo con cui i greci affrontarono la conoscenza in generale, ma anche nel naturale sviluppo di una scienza che già aveva ottenuto notevoli risultati. Personalmente sono propenso a dare maggiore importanza alla diversità della civiltà greca rispetto alle precedenti come apparve, oltre tutto, in ogni  manifestazione artistica, speculativa e politica. Non c’è dubbio, però, che vi furono legami certi tra la matematica greca e quelle precedenti[5] come apparirà anche dal seguente brano di Proclo relativo a Talete.[6]

«Talete per primo essendo andato in Egitto, portò questa scienza [la geometria], ed egli stesso trovò molte cose, e di molte indicò i principi (ujhghsato arcaV) a coloro che vennero dopo di lui, di alcune cose trattando in modo più generale, (katolikoterwn) di altre in modo più sensibile (aistatikoterwn).»

Talete affronta quindi la geometria «in modo più generale» indagandone i principi il che vuol dire probabilmente che ottenne qualche risultato valido non solo per un caso contingente ma per una certa classe di figure. Questo d’altra parte ben si concorda con la tradizione che gli attribuisce appunto la scoperta di proprietà generali quali appaiono certi procedimenti legati alla similitudine, oppure l’essere retto un qualsiasi angolo inscritto in un semicerchio o l’uguaglianza degli angoli alla base di un qualsiasi triangolo isoscele; la tradizione gli attribuisce anche, forse ancor più significativamente, lo studio degli elementi costituenti le pur semplici figure geometriche  come ad esempio lo studio degli angoli.[7]

E’ importante osservare che nelle proprietà matematiche attribuite da più fonti a Talete, si può notare una caratteristica comune, caratteristica che si potrebbe pertanto porre alla base dello sviluppo della geometria  razionale dimostrativa, e quindi alla base dell’evoluzione della matematica come scienza ipotetico-deduttiva. Tale caratteristica è, a mio parere, la simmetria, la regolarità logico-estetica della figura da cui potrebbero intuirsi (più che dimostrarsi) proprietà  di ordine generale e «principi» generali di ragionamento.

Potrebbe essere stata, infatti, proprio la simmetria a portare la matematica da una concezione esclusivamente empirica ad una concezione che già possiede qualche caratteristica giustificativa. Non si tratta però, a mio parere e seguendo gli accenni di Proclo di una semplice constatazione di un fatto “evidente”, ma già di un criterio tendente a convalidare, a giustificare l’evidenza.

 

 

Per quale motivo, ad esempio, vista la regolarità, la simmetria di un triangolo isoscele (AB = AC ), gli angoli alla base dovrebbero essere disuguali ?

Essi sono dunque uguali!

Questa conclusione che coinvolge il “principio di ragion sufficiente” secondo il quale la disuguaglianza di tali angoli sarebbe dovuta scaturire da qualche motivo che la simmetria della figura non indica, anzi tende a fare escludere, potrebbe essere stata alla base di giustificazioni di ordine più visivo, estetico, che logico. Ma tali conclusioni, pur nella loro labilità e pericolosità come tutte le conclusioni basate sull’evidenza, sono pur sempre, se è vera questa ipotesi, nel solco di giustificazioni che tendono a fornire un motivo convincente, sono cioè nel solco delle future dimostrazioni.[8]

Mi sembra importante notare a questo proposito come lo stesso Proclo, nel commento alla proposizione I,5 degli Elementi nella quale Euclide dimostra appunto l’uguaglianza degli angoli alla base di un triangolo isoscele, osserva  «Così, che gli angoli alla base dei triangoli isosceli sono uguali, è un fatto che richiede solo osservazione (qewrhsai  dei ), e tale è la conoscenza che sono in un determinato modo»[9]

Si tratta di un'osservazione delle figure geometriche con gli occhi di chi cerca in esse una invarianza, una regolarità che d'altra parte si può riconoscere in molti aspetti della natura e, geometricamente, già si può intravedere nel moto degli astri;[10] esse portano ad una nuova coscienza scientifica che porta a sua volta a riconoscere proprietà sempre vere e vere per ogni figura di una certa famiglia. Ed è nella successiva ricerca di queste proprietà, insite nelle figure stesse e preesistenti alla loro individuazione più strettamente matematica, in questo platonismo ante litteram, che si indirizza la ricerca matematica la «ricerca» come è stato detto «del necessario e dell'universale».[11]

La convalida etimologica. L'osservazione delle figure e della "evidenza" di alcune loro proprietà la cui giustificazione, come è stato detto, potrebbe risalire a considerazioni di simmetria e di costruibilità,[12] può essere convalidata d'altronde da un esame etimologico di alcuni vocaboli che i matematici greci usarono in seguito nel significato di dimostrare e di teorema.

L'esame del vocabolo usato dai greci per "dimostrare" (deixai, dèixai) si deve ad Arpad Szabo che a lungo si è interessato filologicamente e storicamente della nascita della matematica come sistema ipotetico deduttivo.[13] Ebbene, tale vocabolo è legato a deiknumi (dèiknumi) che vuol dire appunto «far conoscere con la parola, esplicare, dimostrare» ma anche «far vedere, mostrare, indicare» e ciò consente di concludere con buona probabilità che all'origine della dimostrazione vi sia stata la figura con l'"evidenza" delle sue proprietà che vengono riconosciute e mostrate. Così il termine più tecnico usato esplicitamente per "dimostrare":  apo-deiknumi (apo-dèiknumi) conserva ancora la sua origine poiché sta per «mostrare da, mostrare a partire da» ed anche per «far vedere, generare, indicare».

Analogamente anche l'evoluzione del vocabolo «teorema» (qewrhma) avvalora la stessa ipotesi; «teorema», infatti, proviene da qewrew (teorèo) «osservo, guardo»[14]  e sta dunque per «oggetto di osservazione, oggetto di studio» oltre che, successivamente, nel significato di enunciato e dimostrazione di una proprietà[15].

Un trait-d'union significativo tra la prima e l'ultima accezione del termine «teorema» l'abbiamo già trovato nel brano di Proclo riportato poco sopra nel quale egli lo usa nel senso di osservare per riconoscere una proprietà e possiamo trovarlo inoltre in una risposta di Anassagora (500-428 a. C. circa) riportataci da Diogene Laerzio. Il filosofo greco alla richiesta di spiegare il perché della sua nascita, avrebbe risposto «per osservare (eiV  qewrian, eis teorìan) il sole, la luna e il cielo»[16]. Noi sappiamo che Anassagora si era occupato anche di astronomia tanto da mostrare la sua vera patria «indicando (deixaV, dèixas) il cielo»[17] (fu lui, ad esempio, ad avanzare per primo l'ipotesi che il sole non fosse altro che un grande sasso incandescente ottenendo per questo un'accusa di empietà che lo portò in prigione[18]), pertanto quell'"osservare"[19] non sta ad indicare un'azione passiva, ma, molto probabilmente (questa è la mia opinione) la ricerca di proprietà, di invarianze e cioè di leggi dedotte appunto dall'osservazione attiva. Osservare, insomma, per capire, per riconoscere attraverso fenomeni apparentemente diversi, l'ordine che scaturisce da una «mente (nouV, nus)» trascendente.[20]

Riguardo a "teorema" osserviamo infine anche l'uso che Aristotele fa del vocabolo qewrein (teorèin) allorché parlando dei "contrari" osserva che al piacere di «contemplare» l'incommensurabilità della diagonale di un quadrato con il suo lato, non vi è alcun contrario.[21]

È probabile, dunque, che la fondamentale operazione di una matematica razionale, cioè la dimostrazione, sia stata prodotta dall'esame delle figure e dall'osservarne gli elementi costituenti. Questo può essere stato anche favorito da un'altra esigenza: la definizione di "oggetti" matematici; d'altra parte, le operazioni atte a stabilire una corretta definizione e quelle necessarie per una corretta dimostrazione, non sono tra loro dissimili poiché in ogni caso è necessaria la ricerca degli elementi più semplici su cui si basano entrambe.[22]

La riduzione e il sistema ipotetico-deduttivo. Però, una volta trovate alcune proprietà su cui si può basare quella che si vuole giustificare, si cerca di giustificare anche quelle con la ricerca di proprietà ancora più semplici su cui a loro volta esse si basano si cerca cioè di "risalire" a proprietà tanto semplici da risultare "evidenti" con un procedimento che venne indicato con il vocabolo apagwgh (apagoghè, propriamente «riduzione») oppure con problhmatikon (problematicòn, «che dibatte, problematico») operazione facente parte della cosiddetta "analisi". Ed è proprio una operazione siffatta, molto importante per la nascita del sistema ipotetico-deduttivo, che Proclo attribuisce al matematico immediatamente successivo a Talete e a Mamerco cioè a Pitagora (580-500 a. C. circa) e che si può osservare esplicitamente applicata da Ippocrate di Chio[23] (attivo nel 430 a.C.).

Ecco il brano di Proclo: «Dopo di loro Pitagora trasformò questo studio in una forma di insegnamento liberale, investigando dall'alto i suoi principi (anwden  taV  arcaV, ànoden tas arcàs)  e indagando i teoremi astrattamente e intellettualmente».

Notiamo che anwden non vuol dire solo «dall'alto, dalla cima» ma anche «dall'inizio, da principio»; il significato da dare quindi alla frase di Proclo sembra proprio, secondo tutte le accezioni d'altra parte, quello di intendere che Pitagora avrebbe studiato i principi della geometria, e della matematica in genere, risalendo alle più semplici proprietà di questa.[24]

A Talete ed a Pitagora risalgono quindi i primi passi di una scienza dimostrativa e quindi quelli di una scienza ipotetico-deduttiva.[25] D'altra parte, poco dopo Pitagora la geometria comincia ad essere organizzata secondo "Elementi", cioè in forma lemmatica che, sotto molti aspetti, è la forma di un sistema ipotetico-deduttivo.[26]

Osserviamo infatti che, risalendo ai principi (Pitagora e/o i Pitagorici), oppure applicando la riduzione (Ippocrate), si giustifica una certa proprietà (A) se si riesce a giustificare la/e proprietà (B) su cui essa è fondata e successivamente la/e proprietà (C) per giustificarla a sua volta e così via sino a giungere a proprietà già note o "evidenti" in sé.

A  => B => C => ….=> D

Ebbene, invertendo il ragionamento, partendo cioè dalle proposizioni "evidenti"(D) alla guisa di postulati, si ha appunto un primo schema di sistema ipotetico-deduttivo:

D®….® C ® B ® A

Notiamo che nelle varie giustificazioni che fanno risalire da una proprietà già nota attraverso alcuni casi particolare o per semplice intuizione (e successivamente nel processo inverso), è possibile usare procedimenti diretti,[27] o dimostrazioni indirette.

La grande avventura della matematica razionale era iniziata!

                                                                  Silvio Maracchia  

 

 

 

[1] Sull'assiomatizzazione dell'aritmetica nell'Antichità si può leggere la polemica che coinvolse su tale argomento Arpad Szabò e Filippo Franciosi da una parte e Wilbur Knorr dall'altra: i primi sostengono già una certa assiomatizzazione ai tempi di Pitagora, cosa che viene smentita da Knorr (cfr., ad esempio la sua On the early history of axiomatics: a reply to some criticisms, Pisa, Conference Proceedings, vol. I, Reidel Publishing Company, 1980, pp. 193-196 in cui vengono riassunte le rispettive posizioni).

[2]La conoscenza della matematica sumero-babilonese non è ancora definitiva «ma -come scrisse uno dei più grandi studiosi di matematiche pre-elleniche- appare molto chiaro il punto che ci interessa qui per il momento, ossia che la «geometria» [babilonese] non costituisce una disciplina matematica specifica, ma viene trattata alla pari di una qualsiasi altra forma di rapporto numerico tra oggetti della vita pratica. Dobbiamo sempre tener presente questi fatti, anche se continuiamo a parlare di cono­scenze geometriche proprie della matematica babilonese per il fatto che questi fatti specifici erano determinati a svolgere un ruolo decisivo nello sviluppo della matematica. Va anche sottolineato che non abbiamo la più pallida idea di qualcosa che possa considerarsi una «dimostrazione» concernente rapporti tra gran­dezze geometriche...» (Otto Neugebauer, Le scienze esatte nell'antichità, Feltrinelli, Milano, 1974 -prima ed. 1957- p.64; la sottilineatura è mia). Nè la situazione della matematica egiziana è differente (cfr. a questo proposito, La matematica delle civiltà arcaiche di S. Roero e L. Giacardi, Stampatori Didattica, Torino 1979, pp. 80, 92; oppure la Storia del pensiero scientifico di F. Enriques e G. De Santillana, Zanichelli, Bologna, 1932, pp.39, 40.

[3]«Quale sia stata l'origine del metodo deduttivo sia in filosofia che in matematica ha impegnato il pensiero di ogni  buon studioso» scrive W: Knnorr in On the early history of axiomatics: The interaction of Mathematics and Philosophy in Greek Antiquity, Pisa, Conference Proceedings, vol. I, Reidel Publishing Company, 1980, pp.145-186.

[4]E' indubbia, ad esempio, l'influenza eleatica sulla razionalizzazione della matematica (e sulla nascita della logica); questo non toglie però che i matematici avevano già in precedenza ottenuto risultati notevoli e che altri ne ottennero in seguito senza risentire di questa influenza contribuendo anzi con i loro risultati allo studio meta-matematico del valore e del significato dei risultati stessi. L'influenza dei filosofi e in particolare della scuola eleatica è sostenuta più volte da A. Szabo nelle sue varie opere che verranno citate nella nota 11. Lo sviluppo interno della matematica avvenuto nel suo interno e senza rilevanti contributi dei filosofi, è invece sostenuta da W. Knorr nell'op. cit, nella nota n.3; anche in Infinity and Continuity: the interaction of Mathematics and Philosophy in Antiquity, Cornell University Press, Ithaca and London, 1982, pp. 112-145, Knorr ribadisce il suo pensiero: «sono convinto» risponde alla domanda se vi è stata una connessione e una diretta influenza dei filosofi sui lavori dei geometri «che gli studi matematici sono quasi completamente autonomi».

[5] La tradizione attribuisce a Talete e a Pitagora, cioè ai primi matematici greci, lunghi soggiorni in Caldea e in Egitto ove avrebbero appreso, tra l’altro proprio la scienza matematica. Ancora Democrito (460-370 a.C. circa), secondo la testimonianza di Clemente Alessandrino, si era appropriato delle dottrine babilonesi e si vantava di essere riuscito a superare persino gli «arpedonapti» [lett.« tenditori di corde » cioè geometri catastali] egiziani: «e nel comporre le figure geometriche e darne la dimostrazione (meta  apodeixeoV) nessuno mai mi superò neppure i cosiddetti arpedonapti degli egiziani»  (cfr. Le dottrine di Democrito di Abdera di F. Enriques e M. Mazziotti, Zanichelli, Bologna, 1948, pp.16; 207; Cfr. anche I Presocratici di Diels e Kranz, B-299 a p. 807 dell’ed. Laterza, Bari, 1986. Per Talete e Pitagora, senza entrare in minuti particolari, le indicazioni possono trarsi da Ionici. Testimonianze e Frammenti a cura di A. Maddalena, La Nuova Italia, Firenze, 1963, pp. 29; 53 e da Pitagorici. Testimonianze e Frammenti Fasc.I, La Nuova Italia, Firenze, 1958, p. 45, fr.9.

[6] Cfr. Proclo, Commento al primo libro degli Elementi di Euclide (trad. di A. Frajese). Il brano in questione, come il successivo relativo a Pitagora) fa parte del famoso «Riassunto dei geometri» che si trova nella seconda parte del prologo (Friedlein, 65,7 - 68,6). Notiamo che Proclo (V sec. d.C.) è assai posteriore a Talete ma trae le sue notizie da fonti molto più antiche e precisamente da Eudemo di Rodi (IV sec. a. C.). Cfr. a questo proposito Attilio Frajese, Talete di Mileto e le origini della geometria greca, «Boll. UMI» 1941 e Su alcune questioni della storia della matematica greca, «Archimede», 1949. Anche Paul Tannery (La géométrie grecque, Paris, Gauthiier-Villars, 1887) che nega a Proclo la conoscenza diretta di Eudemo, considera ugualmente come fonte di Proclo la Storia della geometria e dell’astronomia di Eudemo ma attraverso Gemino di Rodi (I sec. a. C.) e Pappo di Alessandria (III-IV sec. d.C.) entrambi  studiosi attendibili.

[7] Attraverso principalmente Proclo e Diogene Laerzio si risale, oltre che ad Eudemo di Rodi (v. nota precedente) a Callimaco (IV sec. a.C.), a Geronimo (IV-III sec. a.C.), ad Apollodoro (II sec. a.C.) e al altri; cfr. ad esempio  Ionici. Testimonianze e Frammenti a cura di A. Maddalena, La Nuova Italia, Firenze, 1963.

[8] Cfr. a questo proposito l’art. di H. G. Zuethen  «Thèoréme de  Pythagore». Origine de la géométrie scientifique (Exstait des Comptes Rendus du  «II Congrés International de Philosophies», 4-8 Sept. 1904, pp. 833-854) p. 835. Zeuthen non si riferisce soltanto alla geometria di Talete ma ad ogni geometria, ovunque sia nata, prima di quella  «esatta»: «Alle osservazione che si sarebbero così potute fare [oltre a quelle legate alla pratica del disegno] avrebbero appartenuto anche l’uguaglianza delle differenti parti di una figura che presentavano una simmetria o una uniformità visibile. Prima della geometria esatta, coloro che ebbero nel loro mestiere o arte necessità d’occuparsi delle figure in questione, avrebbero potuto acquisire, tramite l’intuizione, le nozioni di cui parliamo». Anche G. De Santillana (Prologo a Parmenide, Sansoni, Firenze, 1971, p.27) parla del «principio fondamentale di Simmetria o indifferenza, una forma del principio di ragion sufficiente» e aggiunge di seguito «Questo principio afferma che effetti simmetrici, o più in generale, che cause che siano intrinsecamente indistinguibili, quando siano considerate per se stesse, non possono produrre effetti distinguibili». Per rapporti tra Talete e la simmetria cfr. anche S. Maracchia, Talete nello sviluppo della geometria razionale (in “Cultura e Scuola”, 1971, nn. 1-2, pp. 232-242) e anche  La storia della matematica  di P. Pizzamiglio (Pubblicazioni dell’ISU, Università Cattolica, Brescia, 1984) p. 64.

[9] Teniamo a mente il vocabolo usato da Proclo tradotto con «osservazione» (qewresai, teorèsai): vedremo tra poco la sua importanza.

[10] «È l'osservazione dei moti celesti» scrive G. De Santillana «che ha stimolato l'uomo a ricercare gli invarianti impersonali che si celano dietro gli avvenimenti. Tutto sommato è questo il significato della scienza» (Le origini del pensiero scientifico, Sansoni, Firenze, 1966, prima ed. 1961, p.179.

[11] Cfr. L'apogèe de la science technique grecque di Albert Rey (ed Albin Michel, Paris, 1948, p.17). Per l'osservazione delle figure da parte di Talete e della loro costruzione in modo da poter distinguere il «fenomeno» dall'«essenza» e la «ragione» di certe proprietà, cfr. Dalla contemplazione ideale delle figure geometriche nell'uomo primitivo a quelle della geometria razionale attraverso l'opera di <Talete> di Mileto, di B. Rizzi e T. Viola (in "Atti dell'Accademia delle Scienze di Torino" vol. 114, 1980, pp. 355-363). Cfr. anche il paragrafo 6 del lavoro Talete e il sorgere della scienza attraverso la discussione critica di B. Rizzi ("Physis", XXII, Fasc. 3-4, 1980, pp. 293-324).

[12] La proprietà di essere retto ogni angolo inscritto in un semicerchio, altro risultato attribuito a Talete, potrebbe derivare dall'osservazione della inscrittibilità in un cerchio di un qualsiasi rettangolo le cui diagonali risultano, proprio per la simmetria, diametri; oppure dal fatto che l'angolo retto risulta essere elemento di separazione tra gli angoli "acuti" inscritti in archi evidentemente maggiori di mezza circonferenza (come BAC nella figura) e quelli "ottusi" inscritti in archi (ad esempio DAE) minori di mezza circonferenza.

Notiamo che queste proprietà verranno effettivamente usate da Ippocrate di Chio (Ù450 a.C.) e si troveranno dimostrate in seguito negli Elementi di Euclide (prop. III,31).

[13] Citiamo soltanto i lavori più attinenti al nostro particolare problema:  Wie ist die Mathematik zu einer deductiven Wissenschait geworden? ("Acta Antiqua Academiae Scientiarum Hungaricae", Tom. IV, Fasc. 1-4, 1956, pp. 109-152); Deiknymi, als mathematischer Terminus fur «Beweisen» (estratto da «Maia», Nuova Serie, Fasc. II, Anno X, Aprile-Giugno 1958, F. Cappelli, Rocca di San Casciano, pp. 106-131); Zum Problem der philologischen Interpretation antiker mathematischer Texte («Acta Classica» Univ. Scient. Debrecen, V, 1969, pp. 31-43); ed infine, come riassunto di una lunga ricerca: Les dèduts des mathematiques grecques, tr. di M. Federspie della Anfange der griechischen Mathematik (Vrin, Paris, 1977, prima ed. 1969).

[14] Da ciò qewria (teorìa), teorìa, osservazione, considerazione, speculazione.

[15] Mi sono servito a questo proposito del Dizionario illustrato greco-italiano Liddel-Scott (ed. adattata e aggiornata a cura di Q. Caudella, M. Manfredi, F. Di Benedetto; Le Monnier, Firenze, 1975); del Dizionario Etimologico Italiano di C. Battisti e G. Alessio (Barbèra, Firenze, 1975) e, infine, del Dictionnaire historique de la terminologie gèomètrique des Grecs di C. Mgler (Klincksieck, Paris, 1958).

[16] Cfr. Anassagora, Testimonianze e Frammenti a cura di D: Lanza, La Nuova Italia, Firenze, 1966, pp.8-9.

[17] Id. pp.4-5.

[18] L'episodio viene riportato da più fonti; cfr. ad esempio  l'op. cit. nella nota precedente, pp. 11 e 15.

[19] M. Gigante nella sua traduzione delle Vite dei Filosofi di Diogene Larezio (Laterza, Bari, 1962, p.61) pone "contemplazione".

[20] «Tutte le cose erano insieme, poi l'intelligenza intervenne e le ordinò» così ha inizio uno scritto di Anassagora secondo la testimonianza di Diogene Laerzio (op. Anassagora, Testimonianza e Frammenti op. cit. pp. 3-4).

[21]  Topici, 106 a, 36 b.1.  A dire il vero ho tradotto io "contemplare" il vocabolo usato da Aristotele che, però, G. Colli traduce con "compendere" (cfr. Aristotele, Organon, intr. trad. e note di Giorgio Colli, Einaudi, Torino, 1955, p.426) e F. Dübner con "ex consideratione" (cfr. Aristotelis, Opera omnia, graece et latine, Parisiis, Firmin-Didot, 1845-1874, p.182). Questa relativa incertezza nella traduzione di qewrein mostra meglio di ogni altra cosa la vastità delle accezioni del vocabolo scelto per il significato matematico che ha e ne testimonia l'evoluzione nel senso indicato.

[22] Cfr. G. Vailati, I tropi della logica, in "Leonardo", 1905 (oppure negli Scritti di Giovanni Vailati a cura di M. Quaranta, Forni, Bologna, 1987, vol. I, pp. 21-28). La ricerca del termine medio che colleghi il soggetto (A) con l'attributo (B) nella definizione «A è B» mostrata da Aristotele (Analitici Secondi, 93 a, 1 sgg.) può indurre all'analogia di Vailati. Cfr. anche A. Rey, La maturitè de la pensèe scientifique en Grece (Albin, Miche, Paris, 1939, p.470) sull'ordine analogo con cui si strutturano le definizioni e i teoremi.

[23] Cfr. S. Maracchia, La "Riduzione" di Ippocrate di Chio ("Cultura e Scuola" n. 56, ott.-dic. 1975 pp.174-182). Notiamo che Platone indicherà chiaramente questo procedimento nel suo famoso brano del Fedone , 101, d,e.

[24] «Risalendo con l'indagine ai principi» traduce M. Timpanaro Cardini in Pitagorici, Testimonianze e Frammenti, op. cit. fasc. I p. 31; cfr. a questo proposito anche l'art. cit. di H. G. Zeuthen, Thèorème de Pythagore. Origine de la gèomètrie scientifique.

[25] Da parte mia non credo all'ipotesi di alcuni storici secondo la quale Pitagora non si sarebbe occupato di matematica, disciplina che sarebbe stata affrontata solo dai suoi discepoli. Agli effetti dello sviluppo della matematica che il matematico sia stato Pitagora in persona o il suo allievo Ippaso di Metaponto a lui contemporaneo o addirittura i Pitagorici della seconda scuola, Filolao e Archita e altri, ha poco importanza. Al massimo dovremmo sostituire Ippaso a Pitagora, oppure Ippocrate e Teodoro che precedono Filolao e Archita, ma lo sviluppo rimarrebbe il medesimo.

[26] Questa denominazione si deve a Mario Pieri (1880-1913), allievo di Giuseppe Peano; cfr. a questo proposito la sua opera Della geometria elementare come sistema ipotetico deduttivo pubblicata nel 1900 negli «Atti della Regia Accademia delle Scienze di Torino» (ma approvata il maggio dell'anno precedente); cfr. anche l'articolo di Maino Pedrazzi Sulla monografia di Mario Pieri «Della geometria elementare come sistema ipotetico deduttivo» (Memorie della Accademia Nazionale di Scienze, Lettere e Arti di Modena, Serie VI, vol.XIX, 1977).

[27] Se, ad esempio, vogliamo dimostrare che gli angoli alla base di un triangolo isoscele sono uguali (proprietà attribuita a Talete e dimostrata negli Elementi di Euclide nella I,5), oppure risolvere qualche costruzione, possiamo servirci della dimostrazione diretta.

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